MECÁNICA DE UN SÓLIDO RÍGIDO

La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo un paramétrico de isometrías).

Centro de gravedad.

El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico. En mecánica del sólido rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como  , siendo M la masa total del cuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y Krot la energía de rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.

Velocidad angular

Sea una partícula cualquiera de un sólido rígido el cual se desplaza girando. Dado que todos los puntos están rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario.

Momento angular o cinético.

El momento angular es una magnitud física importante porque en muchos sistemas físicos constituye una magnitud conservada, a la cual bajo ciertas condiciones sobre las fuerzas es posible asociarle una ley de conservación. El hecho de que el momento angular sea bajo ciertas circunstancias una magnitud cuyo valor permanece constante puede ser aprovechado en la resolución de las ecuaciones de movimiento. En un instante dado, y fijado un punto del espacio en un punto del espacio O.

Espacio de configuración de un sólido rígido.

La mecánica lagrangiana para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se define como una variedad diferenciable llamada espacio de configuración. El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración. Para un sólido rígido con un punto inmóvil (sólo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3). Cuando el sólido tiene traslación y rotación de todos sus puntos el espacio de configuración es E+(n), el subgrupo de isometría del grupo euclídeo (combinaciones de traslaciones y rotaciones.

Tensor de inercia.

Cuando se estudia el movimiento de un sólido rígido resulta conveniente descomponerlo en un movimiento de traslación más un movimiento de rotación:

Para describir la traslación sólo necesitamos calcular las fuerzas resultantes y aplicar las leyes de Newton como si se tratara de puntos materiales.

En cambio, la descripción de la rotación es más compleja, ya que necesitamos alguna magnitud que dé cuenta de cómo está distribuida la masa alrededor de cierto punto o eje de rotación (por ejemplo, un eje que pase por el centro de masa). Esa magnitud es el tensor de inercia que caracteriza la inercia rotacional del sólido.

Ese tensor de inercia sólido rígido se define como un tensor simétrico de segundo orden tal que la forma cuadrática construida a partir del tensor y la velocidad angular ω da la energía cinética de rotación.Movimiento rototraslatorio

El movimiento más general del sólido rígido es el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado por la superposición de los dos movimientos básicos: el movimiento de traslación y el movimiento de rotación. Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto número de movimientos de traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslación quedará completamente definido por la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1, v2, ... vm. Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto es ω1, ω2, ... ωn. Teniendo en cuenta que un movimiento de traslación es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido rígido estará definido por un conjunto de rotaciones simultáneas, ω1, ω2, ... ωn, ωn+1, ... ωn+2m, cuyos ejes de rotación pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m .

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultante del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.

Por otra parte, el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto, P′, del sólido (i.e., la velocidad del punto P′) está relacionado con el anterior mediante la expresión.

siendo ω = Σωi la resultante general del sistema de vectores deslizantes (i.e., la velocidad angular resultante) que es un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial).

La expresión [33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P′ de un sólido rígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo, P, más la velocidad que le correspondería al punto P′ en una rotación instantánea, ω, alrededor de un eje que pasase por el punto P. En definitiva, podemos enunciar:

El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω = Σωi alrededor de un eje paralelo a ω y que pasa por un punto arbitrario del sólido, más una traslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectores ωi (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.

El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dos movimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación. Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamente determinada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad vP de un punto cualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los que denominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P.

Rodadura

La rodadura implica que el cuerpo que rueda sobre una superficie lo hace sin resbalar o deslizarse con respecto a ésta, de modo que el punto o puntos del cuerpo que se hallan instantáneamente en contacto con la superficie se encuentran instantáneamente en reposo (velocidad nula con respecto a la superficie).

Consideremos un automóvil en movimiento sobre un pavimento en el que queden impresas las huellas de los neumáticos. La rodadura implica que las huellas serán nítidas, bien definidas. Si al frenar se produce un bloqueo parcial de ruedas, los neumáticos ruedan y resbalan sobre el pavimento y sus huellas no serían nítidas, sino el típico rastro de frenada; esta situación no corresponde a la rodadura.